Переносная симметрия, что это. Актуализация знаний
Переносная симметрия, что это. Актуализация знаний
Рассматриваются различные примеры преобразований фигур.
Рис. 1
Дается название трем видам преобразований, выполненным по определенным правилам. В данном случае каждая точка фигуры F переводится в другую точку фигуры F’.
Учитель знакомит учащихся с примерами центрально – симметричных фигур.
Рис. 2
Вопросы к учащимся:
- Покажите центр симметрии фигур.
- Назовите фигуры, имеющие не один центр симметрии (Фигура, состоящая из двух параллельных прямых и , имеют не один центр симметрии)
- Назови другие примеры центрально-симметричных фигур. ( )
- Назови фигуру, отличную от табличной, которая имеет не один центр симметрии ( )
- Имеет ли центр симметрии фигура, состоящая из двух пересекающихся прямых?
Рассматривается рисунок 3.
Рис. 3
- Сколько осей симметрии имеют данные фигуры?
- Назови номера фигур, которые имеют одну, две, три, четыре, бесконечное множество осей симметрии.
- Нарисуй фигуру, отличную от тех, что помещены на рисунке, симметричную относительно некоторой оси.
Рассмотрим следующие преобразования симметрии
| Рассмотрим плоскую фигуру. | |
| При переносе (трансляции) вдоль прямой АВ на расстояние а (или кратное этой величине) фигура совмещается сама с собой. В этом случае говорят о переносной , или трансляционной , симметрии. Прямая АВ называется осью переноса, а расстояние а – элементарным переносом или периодом . Строго говоря, симметричная по отношению к переносам фигура должна быть бесконечно длинной в направлении оси переноса. | |
|
Рис. 4 | Однако понятие переносной симметрии применяют и в случае фигур конечных размеров, имея в виду наблюдаемое при переносе частичное совмещение фигуры. Из рисунка видно, что при переносе конечной фигуры на расстояние а вдоль прямой АВ наблюдается совмещение участка 1 и участка 2. |
Поворотная симметрия
Поворотом плоскости вокруг точки О на уголназывается отображение плоскости на себя,
при котором каждая точка М отображается в такую точку М1, что ОМ = ОМ1и уголМОМ1равен. При этом точка О остается на месте, а все остальные тоски поворачиваются вокруг точки О в одном и том же направлении – по часовой стрелке или против часовой стрелки.
Рис. 5
Зеркальная симметрия
Геометрическая фигура называется симметричной относительно плоскости S (Рисунок 16), если для каждой точки E этой фигуры может быть найдена точка E’ этой же фигуры, так что отрезок EE’ перпендикулярен плоскости S и делится этой плоскостью пополам ( EA = AE’ ). Плоскость S называется плоскостью симметрии . Симметричные фигуры, предметы и тела не равны друг другу в узком смысле слова ( например, левая перчатка не подходит для правой руки и наоборот ). Они называются зеркально равными .
Рис. 6
Примеры фигур, обладающие зеркальной симметрией:
Рис. 7
Рассмотрим применение преобразований симметрии в орнаментах.
Что такое орнамент?
Орнамент (от латинского ornamentum-украшение) узор, состоящий из ритмически повторяющихся элементов для украшения каких-либо предметов или архитектурных построек. Орнамент можно встретить практически везде. Орнамент очень часто встречается в вышивке, в резьбе по дереву, в архитектуре, даже в природе можно встретить орнамент. Не возможно представить старинную чувашскую одежду без орнамента. Всегда женщины вышивали на своей одежде всевозможные орнаменты. Всегда когда встречали гостей подносили на украшенном орнаментом полотенце. Орнамент всегда присутствовал в изделиях из ткани .Если бы вы попали в деревне, то вы бы заметили что на всех домах есть очень красивая повторяющаяся резьба. Всегда русский народ украшал свои дома резными охлупнями, карнизами, наличниками. В украшение многих строений используется орнамент. Орнамент делает постройки более красивыми. Красивые колонны с орнаментом сделают любую постройку очень красивой. Орнамент украсит любое изделие, будь-то хоть изделие из ткани, хоть постройка.
Центральная симметрия
Перед тем, как определить понятие центральной симметрии, введем понятие симметричности точки относительно другой точки.
Определение 3
Точки $X$ и $X_1$ будем называть симметричными относительно какой-либо точки $O$, если эта точка $O$ будет являться центром отрезка $
Определение 4
Центральной симметрией фигуры относительно точки будем называть отображение, при котором получается фигура, составленная из точек, симметричных относительно данной точки каждой точке начальной фигуры.
Введем следующую теорему:
Теорема 4
Центральная симметрия – движение.
Доказательство.
Пусть нам даны две точки $Z$ и $Z'$ – симметричные относительно точки $O$. Построит систему координат $O_{xyz}$, где точка $O$ - ее центр. Пусть точка $Z$ в этой системе координат имеет координаты $(α,β,γ)$, а точка $Z'$ имеет координаты $(α',β',γ')$. Так как эти точки симметричны относительно начала координат (то есть начало координат, по определению 3, является серединой отрезка $
$\frac{α+α'}{2}=0$, $\frac{β+β'}{2}=0$, $\frac{γ+γ'}{2}=0$
то есть
$α=-α'$, $β=-β'$, $γ=-γ'$
Возьмем две произвольные точки $X$ и $Y$ с координатами $(α_1,β_1,γ_1)$ и $(α_2,β_2,γ_2)$, соответственно. Расстояние между ними равно
$d=\sqrt{(α_1-α_2)^2+(β_1-β_2)^2+(γ_1-γ_2)^2}$
По формулам выше, получим, что симметричные им точки $X'$ и $Y'$ имеют координаты $(-α_1,-β_1,-γ_1)$ и $(-α_2,-β_2,-γ_2)$, соответственно. Расстояние между ними равно
$d'=\sqrt{(-α_1+α_2 )^2+(-β_1+β_2 )^2+(-γ_1+γ_2 )^2}=\sqrt{(α_1-α_2)^2+(β_1-β_2)^2+(γ_1-γ_2)^2}=d$
То есть центральная симметрия сохраняет расстояния, что и доказывает нашу теорему.
Симметрия в жизни. Значение симметрии в нашей жизни.
Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Многие народы с древних времён владели представлением о симметрии в широком смысле - как эквиваленте уравновешенности и гармонии.
Формы восприятия и выражения во многих областях науки и искусства, в конечном счёте, опираются на симметрию, используемую и проявляющуюся в специфических понятиях и средствах, присущих отдельным областям науки и видам искусства.
Симметрия (от греческого symmetria - "соразмерность") - понятие, означающее сохраняемость, повторяемость, "инвариантность" каких-либо особенностей структуры изучаемого объекта при проведении с ним определенных преобразований.
Действительно симметричные объекты окружают нас буквально со всех сторон, мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. Симметрия противостоит хаосу, беспорядку. Получается, что симметрия – это уравновешенность, упорядоченность, красота, совершенство.
Весь мир можно рассмотреть как проявление единства симметрии и асимметрии. Асимметричное в целом сооружение может являть собой гармоничную композицию из симметричных элементов.
Симметрия многообразна, вездесуща. Она создает красоту и гармонию.
На протяжении тысячелетий в ходе общественной практики и познания законов объективной действительности человечество накопило многочисленные данные, свидетельствующие о наличии в окружающем мире двух тенденций: с одной стороны, к строгой упорядоченности, гармонии, с другой стороны – к их нарушению. Люди давно обратили внимание на правильность формы кристаллов, цветов, пчелиных сот и других естественных объектов и воспроизводили эту пропорциональность в произведениях искусства, в создаваемых ими предметах, через понятие симметрии.
«Симметрия, - пишет известный ученый Дж. Ньюмен,- устанавливает забавное и удивительное родство между предметами, явлениями и теориями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: земным магнетизмом, женской вуалью, поляризованным светом, естественным отбором, теорией групп, рабочими привычками пчел в улье, строением пространства, рисунками ваз, квантовой физикой, лепестками цветов, делением клеток морских ежей, равновесными конфигурациями кристаллов, романскими соборами, снежинками, музыкой, теорией относительности…»
Рассмотрим примеры симметрии в различных областях нашей жизни.